"Die Random-Walk-Hypothese"
(18/06/2001)
Viele Orakel verkünden die Kurse unserer geliebten Aktien. Mit verschiedensten Formen der Chartanalyse bis hin zur Bewertung anhand von Unternehmenskennzahlen werden Prognosen gestellt. Alle diese Verfahren gehen davon aus, dass Unternehmensdaten (z.B. Gewinn pro Aktie), Spekulationen über deren Entwicklung oder die vorrangegangene Kursentwicklung einen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung der Aktie haben.
Da aber Analysten oft mit ihren Prognosen falsch liegen und viele Fondmanager sich immer wieder dem berühmten Affen (zufälliges Vorgehen) geschlagen geben müssen, stellt sich die Frage: Sollte all das Wissen der Experten etwa nicht allzu viel bringen?
Als Konsequenz stellten einige Wirtschaftswissenschaftler die Hypothese auf, dass es sich bei Aktienkursen um sogenannte Random-Walks handelt. Dies bedeutet, dass die Kursveränderungen rein zufällig und unkorrelliert sind. Man könnte auch sagen, an der Börse wird nur gewürfelt und zwischen zwei Würfen dieses imaginären Würfels gibt es auch keine speziellen Zusammenhänge wie "Nach ner 6 kommt fast immer eine 5". Nein, wirklich komplett zufällig! Beachten Sie hierbei, dass die Kursveränderung zufällig ist und nicht der Kurswert direkt! Random-Walks sehen nämlich wirklich so ähnlich aus wie Börsenkurse.
Die schwarze Kurve ist ein Random Walk, die rote ein Gauss'scher Random Walk. Nähere Erklärung dazu gibt es weiter unten.
Sie werden nun einwenden, dass Unternehmensnachrichten und Daten wie der Umsatz und der Gewinn doch den Wert eines Unternehmens bestimmen müssten. Richtig, die These hat so ihre Haken und ist sicher nicht vollkommen richtig. Aber viele zufällig erscheinende Prozesse sind in Wirklichkeit nur zu komplex, um sie zu verstehen oder genügend Daten zu erfassen. Also, die Autofahrer, die über eine Brücke fahren, tun dies sicher nicht rein zufällig. Trotzdem sind zufällige Prozesse geeignet, um die Situation zu beschreiben. Vorliegende Unternehmensdaten der Vergangenheit mögen zwar bekannt sein, aber zukünftige Nachrichten, Umsatzzahlen und Marktentwicklungen sind von heute aus betrachtet etwas Unbekanntes, etwas Zufälliges.
Aber beide Betrachtungsweisen lassen sich auch kombinieren, wenn wir annehmen, dass der Aktienkurs eine Überlagerung von einem aus handfesten Unternehmensdaten gewonnenen Unternehmenswert mit einem Random-Walk ist. Die Unternehmensdaten bestimmen dabei den langfristigen Trend und der Random-Walk die Schwankungen um den "fairen" Wert.
RANDOM-WALKS Unplugged
Sei x[1], x[2], x[3], ... eine Zeitreihe, z.B. der Kurs der Aktie X. Gesucht ist nun der Kurs zum Zeitpunkt t+1.
Random-Walk
x[t+1] = x[t] + Z[t+1]
wobei Z eine Folge unabhängiger identisch-verteilter Zufallszahlen ist mit Mittelwert 0.
Erwartungswert
E[x[t]]=x[0]
Der Nachfolgewert hängt hier nur vom Vorgänger ab. Random-Walks sind also gedächtnislos. Diese Formel zeigt uns auch das wahre Problem von Random-Walks. Der Wert der Aktie könnte negativ werden, wenn die Summe der Zufallszahlen zu einem Zeitpunkt negativer ist als der Wert der Aktie zum Zeitpunkt 0. Außerdem erwartet man große absolute Ausschläge bei hohen Kursen und niedrige bei Aktien mit niedrigerem Wert. Um dies zu vermeiden, müsste man auf relative (prozentuale) Änderungen übergeben. Klassische Random-Walks eignen sich also nur in Zeiträumen, in denen sich die Größenordnung des Aktienkurses nicht ändert.
Bsp.: Random-Walk mit Normalverteilung (Gauss'scher Random-Walk, Normalverteilung heisst auch Gauss-Verteilung bzw. im Englischen Gaussian distribution), N(0,s) produziere unabhängige normalverteile Zufallswerte mit Standardabweichung s.
x[t+1] = x[t] + N(0,s)
Bei der Normalverteilung sind Zufallswerte umso wahrscheinlicher, je näher sie am Nullpunkt liegen. Dies ist sinnvoll, da geringe Änderungen häufiger auftreten als schlagartige. Aber die Normalverteilung lässt betragsmäßig beliebig grosse Werte zu, d.h. bei einem Kurs von 60 kann auch mit extrem geringer Wahrscheinlichkeit eine Veränderung von -1000 auftreten, wobei ein Aktienkurs von -940 dann wenig Sinn macht, sofern man negative Aktienkurse nicht als Bankrott auffasst.
Erwartungswert
E[x[t]]=x[0]
Varianz
V[x[t]]= t * s^2
Im Mittel sind hier also keine Gewinne zu erwarten. Die Abweichungen um den Erwartungswert können aber in einem konkreten Fall recht gross sein, so dass es Glückliche mit satten Gewinnen und Unglückliche mit heftigen Verlusten geben wird.
Random-Walk mit Drift
x[t+1] = x[t] + N(0,s) + d
wie beim Random-Walk, aber mit Drift d.
Erwartungswert
E[x[t]]= t*E[d] + x[0]
Interessant oder nicht
Außerdem noch gelesen Quadriga die arbeiten mit einem Programm
Wkn 630824 recht erfolgreich was könnte das für ein Programm sein.
(18/06/2001)
Viele Orakel verkünden die Kurse unserer geliebten Aktien. Mit verschiedensten Formen der Chartanalyse bis hin zur Bewertung anhand von Unternehmenskennzahlen werden Prognosen gestellt. Alle diese Verfahren gehen davon aus, dass Unternehmensdaten (z.B. Gewinn pro Aktie), Spekulationen über deren Entwicklung oder die vorrangegangene Kursentwicklung einen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung der Aktie haben.
Da aber Analysten oft mit ihren Prognosen falsch liegen und viele Fondmanager sich immer wieder dem berühmten Affen (zufälliges Vorgehen) geschlagen geben müssen, stellt sich die Frage: Sollte all das Wissen der Experten etwa nicht allzu viel bringen?
Als Konsequenz stellten einige Wirtschaftswissenschaftler die Hypothese auf, dass es sich bei Aktienkursen um sogenannte Random-Walks handelt. Dies bedeutet, dass die Kursveränderungen rein zufällig und unkorrelliert sind. Man könnte auch sagen, an der Börse wird nur gewürfelt und zwischen zwei Würfen dieses imaginären Würfels gibt es auch keine speziellen Zusammenhänge wie "Nach ner 6 kommt fast immer eine 5". Nein, wirklich komplett zufällig! Beachten Sie hierbei, dass die Kursveränderung zufällig ist und nicht der Kurswert direkt! Random-Walks sehen nämlich wirklich so ähnlich aus wie Börsenkurse.
Die schwarze Kurve ist ein Random Walk, die rote ein Gauss'scher Random Walk. Nähere Erklärung dazu gibt es weiter unten.
Sie werden nun einwenden, dass Unternehmensnachrichten und Daten wie der Umsatz und der Gewinn doch den Wert eines Unternehmens bestimmen müssten. Richtig, die These hat so ihre Haken und ist sicher nicht vollkommen richtig. Aber viele zufällig erscheinende Prozesse sind in Wirklichkeit nur zu komplex, um sie zu verstehen oder genügend Daten zu erfassen. Also, die Autofahrer, die über eine Brücke fahren, tun dies sicher nicht rein zufällig. Trotzdem sind zufällige Prozesse geeignet, um die Situation zu beschreiben. Vorliegende Unternehmensdaten der Vergangenheit mögen zwar bekannt sein, aber zukünftige Nachrichten, Umsatzzahlen und Marktentwicklungen sind von heute aus betrachtet etwas Unbekanntes, etwas Zufälliges.
Aber beide Betrachtungsweisen lassen sich auch kombinieren, wenn wir annehmen, dass der Aktienkurs eine Überlagerung von einem aus handfesten Unternehmensdaten gewonnenen Unternehmenswert mit einem Random-Walk ist. Die Unternehmensdaten bestimmen dabei den langfristigen Trend und der Random-Walk die Schwankungen um den "fairen" Wert.
RANDOM-WALKS Unplugged
Sei x[1], x[2], x[3], ... eine Zeitreihe, z.B. der Kurs der Aktie X. Gesucht ist nun der Kurs zum Zeitpunkt t+1.
Random-Walk
x[t+1] = x[t] + Z[t+1]
wobei Z eine Folge unabhängiger identisch-verteilter Zufallszahlen ist mit Mittelwert 0.
Erwartungswert
E[x[t]]=x[0]
Der Nachfolgewert hängt hier nur vom Vorgänger ab. Random-Walks sind also gedächtnislos. Diese Formel zeigt uns auch das wahre Problem von Random-Walks. Der Wert der Aktie könnte negativ werden, wenn die Summe der Zufallszahlen zu einem Zeitpunkt negativer ist als der Wert der Aktie zum Zeitpunkt 0. Außerdem erwartet man große absolute Ausschläge bei hohen Kursen und niedrige bei Aktien mit niedrigerem Wert. Um dies zu vermeiden, müsste man auf relative (prozentuale) Änderungen übergeben. Klassische Random-Walks eignen sich also nur in Zeiträumen, in denen sich die Größenordnung des Aktienkurses nicht ändert.
Bsp.: Random-Walk mit Normalverteilung (Gauss'scher Random-Walk, Normalverteilung heisst auch Gauss-Verteilung bzw. im Englischen Gaussian distribution), N(0,s) produziere unabhängige normalverteile Zufallswerte mit Standardabweichung s.
x[t+1] = x[t] + N(0,s)
Bei der Normalverteilung sind Zufallswerte umso wahrscheinlicher, je näher sie am Nullpunkt liegen. Dies ist sinnvoll, da geringe Änderungen häufiger auftreten als schlagartige. Aber die Normalverteilung lässt betragsmäßig beliebig grosse Werte zu, d.h. bei einem Kurs von 60 kann auch mit extrem geringer Wahrscheinlichkeit eine Veränderung von -1000 auftreten, wobei ein Aktienkurs von -940 dann wenig Sinn macht, sofern man negative Aktienkurse nicht als Bankrott auffasst.
Erwartungswert
E[x[t]]=x[0]
Varianz
V[x[t]]= t * s^2
Im Mittel sind hier also keine Gewinne zu erwarten. Die Abweichungen um den Erwartungswert können aber in einem konkreten Fall recht gross sein, so dass es Glückliche mit satten Gewinnen und Unglückliche mit heftigen Verlusten geben wird.
Random-Walk mit Drift
x[t+1] = x[t] + N(0,s) + d
wie beim Random-Walk, aber mit Drift d.
Erwartungswert
E[x[t]]= t*E[d] + x[0]
Interessant oder nicht
Außerdem noch gelesen Quadriga die arbeiten mit einem Programm
Wkn 630824 recht erfolgreich was könnte das für ein Programm sein.
